Chuyên đề 1.
Dãy các phân số viết theo quy luật

Bài tập 1: Tính nhanh
A =
Giải: Ta có:
3A = (1)
A = (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được:
2A =
Do đó: A =
Bài tập 2: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dãy sau:
a) b)
Giải:
a) Ta có:
Tổng quát:
Do đó:
A =
b) Ta có:
Số hạng thứ n của dãylà
Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là:
A =
Nhận xét:

Tổng quát:
Do đó:
5A =
A =
Bài tập 3: Tính tổng:
B =
Giải:
áp dụng p2 khử liên tiếp như các VD trên.
Ta xét:

Tổng quát: Do đó:

B =
Tổng quát:
Bài tập 4: Tính giá trị các biểu thức:
A =
B =
Giải:
Ta có:


A =
b) Ta có:
Biến đổi mẫu


B =
Bài tập 5: Tính tích của 98 số đầu tiên của dãy:

Giải:
Dãy số trên được viết lại dưới dạng:
Số thứ 98 có dạng:
Tích của 98 số đầu tiên của dãy đã cho là: A

Bài tập 6: Tính các tổng sau:
A
B (Sử dụng kết quả ở câu a)
C
Giải:
a) Ta có: 3A


A
Tổng quát:
B

A
Tổng quát:
c) C



Tổng quát:
Bài tập 7:
Tính: D
CMR biểu thức E có giá trị bằng
E
Giải:
Số bị chia gồm 98 tổng, số 1 có mặt ở 98 tổng, số 2 có mặt ở 97 tổng, số 3 có mặt ở 96 tổngsố 97 có mặt ở 2 tổng, số 98 có mặt ở 1 tổng.
Như vậy, số bị chia bằng:

D
b) Theo công thức tính tổng n số tự nhiên liên tiếp ta có:

E fcm
Bài tập 8:
Tính nhanh: A
Giải:
Ta có: 2A
2A - A
Bài tập 9:
Cho dãy các phân số:
Hãy nêu quy luật viết của dãy, viết tiếp 5 phân số tiếp theo theo quy luật ấy?
Phân số là số hạng thứ mấy của dãy?
Giải:
a) Quy luật của dãy: dãy viết theo từng nhóm ngăn cách bởi dấu “;”, trong từng nhóm tử được viết giảm dần còn mẫu được viết tăng dần. Tổng của tử và mẫu của các phân số lần lượt tăng dần: 2; 3; 4; 5
Vậy 5 phân số tiếp theo theo quy luật đó:
b) Theo cách chia nhóm như trên thì: Nhóm thứ nhất có tổng cả tử và mẫu là 2.
Nhóm thứ hai có tổng cả tử và mẫu là 3
Nhóm thứ ba có tổng cả tử và mẫu là 4
Nhóm thứ tư có tổng cả tử và mẫu là 5
Do đó phân số có tổng là 81 thì thuộc nhóm 80 và là số hạng thứ 31 của nhóm ấy.
Số lượng các phân số trước nhóm thứ 80 là:
Do đó phân số là phân số thứ: 3160 + 31 = 3191 của dãy.
Bài tập 10:
Tìm x, biết:
Giải:
Ta có: