NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT


A-Mục Tiêu:
-Cung Cấp cho HS tránh những sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của biểu thức.
-Nắm vững các phương pháp và linh hoạt từng dạng toán .
-Vận dụng các phương pháp vào giải toán cực trị.
B-Nội dung:
I-Định nghĩa giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
-Định nghĩa 1:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D .ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) M với M là hằng số .
+Tồn tại x0,y0,…thuộc D sao cho f(x0,y0,…) = M
-Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D .ta nói N là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu hai ĐK trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) với N là hằng số .
+Tồn tại x0,y0,…thuộc D sao cho f(x0,y0,…) = N
II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ
a2 0 Tổng quát a2k0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
a2 0 Tổng quát a2k0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
{a{ 0 Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
–{a{ a {a{ Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
{a+b{ {a{+{b{ Đẳng thức xẩy ra khi ab 0
a2+b2 2ab Đẳng thức xẩy ra khi a = b
Với a,b 0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy ra khi a= b
a b , ab > 0 => Đẳng thức xẩy ra khi a= b
Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b
Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b
(am+bn)2 (a2+b2)(m2+n2) Đẳng thức xẩy ra khi BĐT Bu nhi a côp xki)
III-Những sai lầm thương gặp trong giải toán cực trị:
1-sai lầm trong chứng minh ĐK 1:
VD1:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Lời giải sai:
Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất
Ta có :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 8
Min(x2- 6x +17) = 8 <=> x = 3. Vậy MaxP = x = 3
Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất” mà chư đưa ra nhận xét tử và mẫu đều lànhững biểu thức có gioá trị dương.
Ta đưa ra một phản ví dụ:
Xét biểu thức A = Với lập luận như trên: A = Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất”Nghĩa là A có giá trị lớn nhất <=> x2 – 4 có giá trị nhỏ nhất .Mà x2 – 4 có giá trị nhỏ nhất là -4 <=> x = 0 .Nên A có giá trị lớn nhất là x =0 .Điều này không đúng .Vì Không phải là giá trị lớn nhất của biểu thức A .chẳng hạn với x =3 thì A =
Lời giải đúng: Ta có :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 8 .Tử và mẫu của P đều là biểu thức có giá trị dương .=> P > 0 ,do đó P có giá trị lớn nhất <=> Có gia 1trị nhỏ nhất <=> x2- 6x +17 có giá trị nhỏ nhất.
VD2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x-1)2 + (x-3)2
Lời giải sai:ta có (x-1)2 0(1) ; (x-3)2 0(2) .Nên A có giá trị nhỏ nhất là 0.ta không thể kết luận như vậy .vì không thể xẩy ra đẳng thức đồng thời của (1) và (2)
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của A= .Với x,y,z > 0
Lời giải sai:
Giả sử :xyz > 0 .=>